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作者:k5电竞官网_k5电竞app下载更新时间:2020-10-27 11:49:06

  在那之后的几十年里,凯勒猜想取得了众多进展1940年,数学家OskarPerron成功证明,凯勒猜想在六维以及更小的维度上是正确的大发国际平台注册官网_大发国际平台网址然而在1992年,JeffreyLagarias和PeterShor的工作表明,当维度提高到十以及以上时,这个猜想便不再成立到了2002年,JohnMackey进一步将这个“不适用范围”缩小到了八维空间,表明它在八个或八个以上的维度上便不再适用如此一来,仍处于未知状态的就是七维空间中的情况了

  从Perron到Lagarias和Shor,在数学家们向这个猜想发起挑战的过程中,研究方法发生了重大变化在Perron的年代,他依靠的是笔和纸来计算这种模式在前六个维度中的适用情况大发国际平台注册官网_大发国际平台网址到了1990年代,为了能让强大的计算机加入这项挑战,数学家KeresztélyCorrádi和SándorSzabó对这一猜想进行了重新表述,将它转化成了一种完全不同的形式  凯勒猜想原本涉及到的是光滑的连续空间,在这种空间里,存在无穷多种方式来进行无穷多个瓷砖的密铺,而这种无穷大是计算机并不擅长处理的问题因此Corrádi和Szabó将猜想转化成了某种涉及到离散的、有限的物体的问题来处理

这样一种等价方法有效地将一个关于无穷大的问题,简化成了关于几个数字的算术问题,它所涉及到的一个基础核心是一种被称为凯勒图的图形  简单说来,凯勒图是由具有特定点数的骰子,以及这些骰子之间的连线构成的大发国际平台注册官网_大发国际平台网址点数对应于维数,要判断凯勒猜想在n维空间上是否正确,可以通过在凯勒图上寻找是否存在2ⁿ个彼此之间相互连接的骰子组成的小集合,如果存在,那么凯勒猜想在n维中就是不正确的  以二维空间中的凯勒猜想为例,首先想象桌子上摆放着一些骰子,且对于每个骰子来说,朝上摆放的那一面的点数为2——这两个点就对应于二维,它们的位置就代表着坐标系中的x轴和y轴接着,分别用红、绿、黑、白四种颜色任意地给每个点涂上颜色,并将红和绿,黑和白设定为两组“配对色”

  现在,当两个骰子的相同位置的点有不同的颜色,而另一个位置的点的颜色不仅不同,且颜色配对(红和绿,或者黑和白)时,就将这两个骰子骰子用直线连接起来,如下图中的第四种情况,就满足用线连接的条件  在凯勒图中,每个骰子可被看成是凯勒猜想中的一块瓷砖大发国际平台注册官网_大发国际平台网址骰子上的颜色可被看作是坐标,定义了瓷砖在空间中的位置而骰子之间存在连接与否,可被看作是对两个瓷砖的相对位置的描述  上图所示的就是二维情况的凯勒图,它由16个点数为2的骰子组成

就像前面已经提到的,这张图能将凯勒猜想的证明,变成判断能否找到4(即2²)个这样的骰子形成一个完全彼此相互连接的小集合,如果能,那么就证明凯勒猜想在二维空间中是错误的  但从二维凯勒图上可以看出,这样的小集合并不存在,因此凯勒猜想在二维空间中是正确的大发国际平台注册官网_大发国际平台网址  Corrádi和Szabó利用这种方法,用216个具有3个点的骰子证明了凯勒猜想适用于三维空间,在这种情况下,他们要寻找的反例是8(即2³)个相互连接的骰子Mackey则通过找到256(即2⁸)个具有8个点的骰子的小集合,证明了凯勒猜想不适用于八维以及更高的维度  要判断七维空间是否适用于凯勒猜想,需要判断能否找到128(即2⁷)个具有7个点的骰子的小集合

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